Unidad 3:

Modelos de Transporte

Los modelos de transporte son representaciones matemáticas o computacionales que permiten simular y analizar el movimiento de bienes o personas entre diferentes puntos geográficos. Su objetivo principal es encontrar soluciones eficientes, rentables y sostenibles para la distribución de recursos.

Tipos de Modelos de Transporte

- Modelo de Transporte Clásico (Lineal)

- Utiliza programación lineal para minimizar el costo de transporte.

- Supone una oferta y demanda conocidas en cada punto

- Ideal para redes con rutas fijas y costos constantes.

Modelos de Transporte Multimodal

- Integran distintos medios (camión, tren, barco, avión).

- Buscan reducir tiempos y costos considerando transbordos y compatibilidades.

Ejemplo:

Modelo de Asignación

El modelo de asignación es un tipo de problema de optimización donde se busca emparejar n agentes por ejemplo, trabajadores, máquinas o vehículos con n tareas, de forma que el costo total de asignación sea mínimo o la ganancia máxima.

Cada agente puede realizar exactamente una tarea.
Cada tarea debe ser asignada a un solo agente.
El objetivo: encontrar la mejor combinación posible.

¿Cómo se resuelve?

El algoritmo más conocido para resolver estos problemas es el Método Húngaro. Este método garantiza encontrar la solución óptima en tiempo polinomial.

Pasos clave:

Restar el mínimo de cada fila y columna.
Cubrir todos los ceros con el menor número de líneas horizontales/verticales.
Si el número de líneas es igual al número de tareas/agentes, la solución es óptima.
Si no, ajustar la matriz y repetir.

Ejemplo:

Ventajas del Modelo de Asignación

Simplicidad en su formulación.
Soluciones exactas y eficientes para problemas de tamaño razonable.
Muy útil cuando hay correspondencia uno a uno entre recursos y tareas.

Limitaciones

No permite múltiples asignaciones por recurso/tarea.
No gestiona bien la incertidumbre o cambios dinámicos (para eso se usan modelos estocásticos).
Supone que todas las tareas y recursos son igualmente importantes o equivalentes.

Ejemplos de asignación:

Asignación de turnos:

Asignación de madera:

Modelos PERT y CPM

Tanto PERT como CPM son técnicas de planificación y control de proyectos basadas en diagramas de red que muestran las actividades y sus relaciones de dependencia. Su propósito principal es determinar el tiempo mínimo necesario para completar un proyecto.

PERT: Se utiliza cuando los tiempos de ejecución son inciertos. Es un modelo probabilístico.

CPM: Se usa cuando los tiempos son conocidos con precisión. Es un modelo determinista.

Ambos modelos comparten componentes clave:

Actividades: Tareas que consumen tiempo y recursos.

Eventos: Puntos de inicio o finalización de una o más actividades.

Red: Representación gráfica de la secuencia de actividades.

Ruta crítica: La secuencia de actividades que determina la duración total del proyecto. Si se retrasa, todo el proyecto se retrasa.

¿Cómo Funciona PERT?

PERT introduce tres estimaciones de tiempo para cada actividad:

Tiempo Optimista (O): El mejor escenario.

Tiempo Más Probable (M): El escenario más común.

Tiempo Pesimista (P): El peor caso.

Con estos valores, se calcula el tiempo esperado (TE):

¿Y cómo funciona CPM?

En CPM, cada actividad tiene un tiempo fijo y un costo asociado. Se enfoca en:

Determinar la ruta crítica.

Calcular holguras (tiempo que se puede retrasar una actividad sin afectar el proyecto).

Evaluar cómo acelerar el proyecto modificando actividades críticas.

Unidad 2

Algoritmo simplex

El algoritmo Simplex, una herramienta de la programación lineal que nos ayuda a tomar decisiones óptimas cuando enfrentamos restricciones.

El método Simplex recorre los extremos de la región factible que contiene todas las soluciones posibles buscando cuál de ellas maximiza o minimiza la función objetivo.

¿Cómo aplicar el método Simplex con Solver en Excel?

El Solver de Excel es una herramienta muy útil para resolver problemas de programación lineal como los que se resuelven con el método Simplex.

Paso 1: Activar el complemento Solver

Abre Excel.
Ve al menú Archivo > Opciones.
En la ventana que se abre, haz clic en Complementos.
En la parte inferior, donde dice “Administrar”, selecciona Complementos de Excel y haz clic en Ir…
Marca la casilla Solver y presiona Aceptar.

Ahora tendrás la opción "Solver" en la pestaña Datos.

Paso 2: Plantear el modelo en Excel

Paso 3: Usar Solver

Ve a Datos > Solver.
En “Establecer objetivo”, selecciona la celda donde calculaste la ganancia total.
Marca “Máx” (porque se quiere maximizar).
En “Cambiando las celdas de variable”, selecciona las celdas de las unidades a producir (X,Y y Z).
Agrega las restricciones
En “Método de resolución”, selecciona Simplex LP.
Haz clic en Resolver.

Ejemplos con solver

Dualidad y los precios sombra

En programación lineal, todo problema tiene dos caras: el primal (el original) y el dual, que es como ver la misma situación desde otra perspectiva.

Si el problema original busca maximizar ganancias, el dual busca asignar el valor justo a cada recurso. Por eso se dice que la dualidad responde a la pregunta:

¿Cuánto estaría dispuesto a pagar por una unidad adicional de un recurso limitado?

A esa respuesta se le llama precio sombra.

Informe de sensibilidad

Se supone que ya se encontró la mejor decisión usando el Simplex. Pero el mundo real cambia los precios suben, los recursos bajan, llegan nuevos pedidos entre otras cosas

¿Cómo saber si la solución sigue siendo la mejor?

Aquí entra el informe de sensibilidad, una herramienta que mide la estabilidad del modelo ante cambios en los datos.

Este informe dice:

Qué tanto pueden cambiar los coeficientes de la función objetivo sin alterar la solución óptima.
Cuánto puedes modificar el lado derecho de una restricción sin afectar el resultado.
Qué precios sombra tienen las restricciones activas.

Ejemplos